一个公式摧毁了华尔街「数学的诅咒」

2009.3.12： 摧毁华尔街的秘密数学公式

和讯特约 长城伟业 康兰

从上世纪80年代中期起，华尔街就开始依赖金融工程精英们来创造各种新的获利途径。他们创造金钱的方法一直成功运转了这么多年，直到其中一种“突然”引发了这场全球性的经济灾难。

一年前，人们总认为像李祥林（David X. Li）这样的数学天才可能会在某日得到诺贝尔奖的眷顾，因为金融经济学者，甚至华尔街的这类人才的确此前也获得过诺贝尔经济学奖。李祥林的开创性工作是衡量投资风险，而在金融领域，他的成果与以前获得过诺贝尔奖的学者的贡献相比更有影响力、更快速地得到广泛应用。然而，当晕头转向的银行家、政治家、监管者和投资者在这场自“大萧条”以来最严重的金融大崩溃的废墟中寻找事发根源时，他可能更应该庆幸的是自己还有一份金融业的工作。

李祥林从事的研究是确定资产间的相关性(correlation)，也就是将一些完全不同的事件之间的关联度用数学模型来量化。这是金融领域中的一大难题，但他构建的被称为高斯相依函数的公式能以数学手段令极其复杂的风险比以前更容易和精确地被衡量。基于这一公式，金融机构能够大胆地出售各种新型证券和金融衍生品，将金融市场扩张至几乎不可思议的水平。

从债券投资者到华尔街的银行，从评级机构到监管机构，几乎每一个人都在使用李祥林的公式。很快，利用这一公式来衡量风险的方法已经在金融领域深入人心，并且帮人们赚到了大量金钱，使得任何对此公式的局限性的警告都被人们忽视了。

然而，突然间，使用这一公式的人们发现，金融市场开始出乎他们意料之外地变化。小小的裂缝在2008年演变成了巨大的峡谷，瞬间吞噬了成千上万亿的资金，将全球银行体系推向了崩溃的边缘，并引发了这场波及全球各个角落的经济危机。

可以肯定地说，李祥林在短期内都不可能获得诺贝尔经济学奖的眷顾了。而这场金融大海啸也使得金融经济学此前受人们顶礼膜拜、坚信不疑的地位不复存在。

为何数学公式的影响如此之大

令人们惊诧的问题是，一个数学公式怎会给金融界带来如此毁灭性的结果？答案隐藏在让养老基金、保险公司和对冲基金向企业、各国家和购房者发放数万亿美元贷款的庞大债券市场中。一个企业若要发行债券借款，投资者会严密审查公司账目，以确认公司能有足够资金偿还贷款。若放款人认为贷款的风险很高，他们索要的利息率也会更高。

债券投资者都是在赌“大概率事件”，如果债券违约的概率是1%，而他们可以获得额外2%的利息，他们就会蜂拥而上购买该债券。这就好比一个赌场，人们不介意偶尔输掉一些钱，只要大多数的时间里，他们都在赢钱。

债券投资者通常也对由数百乃至上千个住房按揭贷款构成的资产池进行投资。现在涉及的这类活动总规模大得惊人：美国购房人所欠下总债务已达11万亿美元。然而，按揭贷款资产池的情况比债券市场更混乱。这类投资中，因购房者每月集体偿还的现金量，是取决于已获得再融资的购房人数量和因违约未还款人的函数，因此投资不存在保证性的确定利率。同样，如此借贷活动也无固定的还款到期日。因购房人以无法预测的时间偿还按揭，例如购房者决定出售房产，因此池内的还款总数也是无规律可循。最令人头痛的问题是，尚无法找到给违约出现机会确定一个单个概率值的办法（即概率越高、贷款损失风险越大）。

华尔街解决的办法是，通过一个称之为划分等级（tranching）的办法，它将整个池内各类资产进行分级，创建以标注3A评级的无风险的安全债券。位于第一级别的投资者能够最先获得偿还债息，其他类别投资者虽因违约风险较高而评级稍低，但可收取更高的利率。

评级机构和投资者之所以对3A级的债券感到放心是因为他们相信，成百上千的贷款购房者不会在同一时间内发生违约行为。某人可能会丢掉工作，其他人可能生病。但这些都是不会给按揭贷款资产池整体带来重大影响的个体不幸事件。但所有的灾难性事件并非都是个体性，等级划分做法并未解决资产池风险的全部问题。

房价可能下跌的事件会在同时影响到一大批人。如某购房者家附近住房价值下跌，此人住房的资产净值也同样会下降，他(她)周边邻居的房产会跟着下跌的可能性很大。一旦此购房人还款违约，周边邻居违约的可能性也很大。这就是所谓的相关性，即一个变量变化与另一些变量的关系和影响程度，度量此关系和关系程度高低是确定按揭贷款债券风险大小的重要部分。

只要投资者能够对风险定价，他们就愿意冒险。他们厌恶的是不确定性，即无法确定风险大小。正因如此，债券投资者、按揭贷款放款者拼命地想要找到能够度量、模拟相关性，并对其进行定价的方法。在计量模型应用于金融市场前，令投资者对按揭贷款资产池中投资感到安全的唯一时刻是不存在风险，即这类债券都是由联邦政府通过房地美和房利美两家企业进行隐形担保。

随着全球金融市场在上世纪90年代快速扩张，数以万亿计美元要进入市场，若投资者能够找到确定任何资产间的相关关系的方法，这些资金便能顺利进入市场。但这是个折磨人的痛苦问题，特别是考虑到成百上千类资产在时刻不停波动和变化。无论是谁解决了这样一个问题不仅会赢得华尔街永恒的感谢，而且非常可能会引起诺贝尔奖委员会的关注。

理解相关性概念

为了让大家更好地理解“相关性”这个概念，我们举一个比较简单的例子：假设一个在读小学的小孩叫爱丽丝，她父母今年离婚的可能性是5%，她头上长虱子的可能性是5%，她看到她的老师踩到香蕉皮摔倒的可能性是5%，她获得班级朗读比赛冠军的可能性是5%。假设投资者们要交易一种基于爱丽丝身上发生的这些事件的概率的证券，他们的出价可能差不多。

我们考虑两个小孩，不仅仅是爱丽丝，还有她的同桌布兰妮。假设布兰妮的父母离婚了，爱丽丝的父母离婚的概率是多少？大多数情况下还应该是5%，这就说明在这件事上，他们的相关性可能接近于0；如果布兰妮头上长了虱子，爱丽丝长虱子的可能性就会高很多，可能是50%，这说明他们的相关性是0.5左右；如果布兰妮看到老师摔倒，因为她们是同桌，爱丽丝也看到的概率可能是95%，这时她们的相关性接近1；如果布兰妮获得了班上朗读比赛冠军，爱丽丝获得冠军的可能性就是0，这件事上她们的相关性是-1。

如果投资者交易的证券是基于这些事件同时发生在这两个小孩身上的概率，他们的判断就很可能大不相同了，因为各类事件中，两个小孩的相关性各不相同。

但这是一个非常不精确的科学。单单是要确定一个人发生某件事的概率是5%，就已经要费很大精力来搜集历史数据进行统计和误差分析了，而还要在此基础上判断另一个人在这一个人发生这件事的条件下的概率就更加复杂，而且也缺乏相关的历史数据，因此出现误差的可能性也就更大。

在住房抵押贷款市场里，这种相关性的计算更是难上加难。首先要计算某个地区房价下跌的概率，你可以观察房价的历史走势来推测未来，但一个国家的宏观经济形势对房价的影响也极其重要。在此基础上我们还要判断，如果一个州的某个房子价格下跌，另一个州一间同样的房子价格下跌的概率又是多少？

李祥林取得突破性进展

李祥林，上世纪60年代出生在中国农村，成绩优异，获得了南开大学的经济学硕士学位，后来去美国留学，获得魁北克拉瓦尔大学的MBA学位。在此之后他继续深造，先后获得了加拿大滑铁卢大学的精算学硕士学位和统计学博士学位。1997年他在加拿大帝国商业银行开始了他的金融职业生涯，后来就职于巴克莱资本，并在2004年负责重建其数量分析小组。

李祥林的学术背景在华尔街的精英中非常典型。由于从事学术研究的收入远不如华尔街投行和对冲基金给出的薪水高，从上世纪80年代开始，大量数理背景的高级人才进入华尔街，从事金融衍生工具的创造、定价和套利。

此时巧合的是，在摩根大通工作的李祥林在《固定收益杂志》上发表了一份名为“论违约相关性：相依函数方法”的论文。论文以相对简单的数学方法（当然是相对华尔街精英人士的水平来说），不用参考历史违约数据，而是使用了一种金融衍生产品——信用违约互换（CDS）的市场价格数据作为判断违约相关性的依据。

如果你是一个投资者，你可以选择直接把钱借给借款者，也可以选择向贷款者卖出CDS产品。它相当于对贷出的款项进行一种保险，以防借款者出现违约情况。这两种方法都可以收取固定的收益——利息或者是保费。两者收益接近，但由于针对同一个借款者可以售出无限个CDS，CDS产品的供应并不受限于债券发行的数量，所以处于开创阶段的CDS市场以异乎寻常的速度增长，所向披靡，规模大大超过了作为其基础资产的债券市场。

当一种CDS的价格上涨，这表明其标的资产违约的可能性上升。李祥林的突破在于，他不去浪费时间等待搜集足够的实际违约数据，因为实际违约在现实中比较少，取而代之，他利用CDS市场的历史数据作为判断依据。假设有两个借款者，我们很难通过他们过去实际违约的情况来计算他们的违约相关性，因为或许他们过去没有违约过。但我们可以通过观察针对这两位借款者的CDS的历史价格变化，如果走势较为一致，那么可以证明他们的相关性较大。李祥林利用这种价格走势的相关性作为“捷径”，假设了金融市场，这里特别是CDS市场，能够正确地对违约的可能做出相应的价格反映。

这是对一个复杂问题进行的巧妙简单化。而且李祥林不仅仅简化了相关性的计算，他还决定完全不考虑资产池中的各个贷款之间复杂的关系变化。例如，如果资产池中的贷款数目增加，会发生什么变化？如果你将负相关性的贷款和正相关性的贷款组合放在一起，整个资产池的风险又如何变化？他说，都不用管这些。我们只用管一个最终的相关性数据，一个简单明了的数据就代表所有我们需要考虑的东西。

这一发明使市场迅速发展

这一公式的发明对资产证券化市场具有闪电效应。有了这一风险定价公式，华尔街的精英们看到了新的无限可能。他们马上着手创造大量新的3A证券。而像穆迪这样的评级机构再也不用苦恼这些证券背后所代表的资产的各种风险，他们只需要考虑这个简单的相关性数据，然后就出来了一个评级，告知人们这些资产的风险到底多高。

因此，几乎任何资产都可以捆绑在一起变成3A证券——公司债券、银行贷款、住房抵押证券等等。这样形成的资产池一般被称为债务抵押证券（CDO），通过将资产池分级，打造出3A级的证券，即使这个证券的组成资产没有一个是3A级的。那么对于资产池中较低级别的证券怎么办？他们也想出了好办法：把多种CDO资产池中低级别的证券再捆绑在一起，组成一个资产池，再次进行分级。这样组成的投资工具叫做CDO２。到此为止，已经没有人真正知道这个产品包含了什么基础资产。但他们并不在乎，一切只需要李祥林的相依函数公式（Copula Function）就可以了。

这些年里，CDS和CDO市场相互依存，共同壮大。数据显示，2001年年底，在外流通的CDS总额高达9200亿美元。到2007年年底，这一数字飙升至62万亿美元。同样，CDO市场总规模在2000年仅为2750亿美元，到2006年扩大至47000亿美元。

这些市场发展的基础就是李祥林的公式。如果你问一些市场参与者，他们都会用“极好、简洁、好处理”这一类词来形容这一公式。这一公式几乎是普遍适用，于是，无论是银行打包新的债券，还是交易员、对冲基金对这些债券进行复杂的交易时，大家都会用到这一公式。

公式背后的隐忧

曾在穆迪的学术顾问研究委员会任职、现任美国斯坦福大学金融学教授的达雷尔•达菲（Darrell Duffie）指出，CDO市场几乎完全依赖这一相关性模型，高斯相依（Gaussian copula）一词已经成为全球金融界普遍接受的词汇，就连经纪商都依据这一公式对某个级别的债券进行报价。正如衍生品大师珍妮•塔瓦科里（Janet Tavakoli）所描述的那样，基于相关性的交易已经像一个极具传染性的思想病毒，遍布金融市场的每个角落。

其实早在1998年，李祥林发明这一函数之前，数量金融学的顾问和讲师魏尔莫特（Paul Wilmott）就指出，金融数量之间的相关性是出了名的不稳定，任何理论都不能建立在这样不可预测的参数之上。这样的声音不止一个，在美国金融行业繁荣的数年里，每个人都可以说出一大堆理由证明这一函数公式并不完美，它无法应对不可预知的情况：它假定相关性是一个常量而不是变量。投行也经常打电话给斯坦福大学的达菲教授，邀请他解释这一公式。每一次，他都会警告投行，这一公式并不适用于风险管理和估价。

现在看来，对这些警告的充耳不闻简直是笨透了。但在当时，这确实是一件很简单的事。投行们并没有理会这些警告，一方面是因为手握控制大权的经理们并不懂金融工程精英的各派争论，也无法理解各种数学模型的真正含义；另一方面，他们赚了太多钱，贪欲已经无法让他们停下来了。

在金融市场，风险是永远无法消除的。我们只能努力建立一个市场，让不想承担风险的人们将风险转嫁给爱冒险的人。在CDO市场，人们用这一公式让自己相信自己没有风险，但实际上，他们只是99%的时候没有风险。一旦1%的可能出现，他们就会前功尽弃、尸骨无存。

李祥林的公式被用于对上亿的住房贷款组成的CDO资产池进行定价。因为他的公式以相关CDS的历史价格走势为基础，因此相关性的计算只能局限于CDS出现之后的年代。而在过去不到十年的时间里，房价一直在上涨，因此住房贷款之间违约的相关性就相对比较小。一旦房市的繁荣时代结束，整个国家的房价都下降，房贷违约的相关性就会骤然飙升。

其实对房贷进行资产证券化的银行也明白，这一公式对房价的上涨有很强的敏感性。一旦房价下跌，所有被评为3A的无风险债券都会瞬间崩塌，没有退路可寻。尽管如此，他们都不愿意停止制造CDO。面对眼前大把利润的诱惑，没有人抵抗得住，他们要做的就是一边享受暴利一边祈求房价继续上涨。

谁应该被指责？

2005年秋，李祥林曾在《华尔街日报》表示，很少人真正理解了这一公式的核心。金融领域中，大多数人都认为李祥林不应该被指责。毕竟，他只是发明了这一数学模型。我们应该指责的是那些滥用模型的金融机构，是他们的贪欲导致整个金融界盲目地逐利，对这一模型的局限忽略不计，对外界的警告充耳不闻。

李博士目前已经淡出人们对当前讨论金融危机原因的讨论，并于去年离开美国回到中国。

在现实金融世界中，太多金融分析人士只看到他们眼前的毫无生命的数字，而忘却了这些数字所代表的有形和真实的现实。他们认为，能够仅靠只有数年价值的数据来模拟计算，再定出那些每10000年才可能发生一次事件的概率。人们此后就以如此概率进行投资，而不思考一下这些数据究竟是否有实际意义。正如李博士本人对自己的模型的表态，最危险的事情莫过于人们盲目地相信模型能给他们带来所希望的结果。